¿Qué es un polinomio?
Un polinomio es la suma de al menos dos monomios. A cada uno de los monomios lo vamos a denominar término del polinomio.
Vamos a definir los monomios:
Monomios
El término monomio viene del griego monós (uno) y nomós (partición).
Un monomio es un producto de un número por una o varias variables.
Ejemplos de monomios y un poco de nomenclatura:
-2xy³ En este caso, el coeficiente es -2, la parte literal xy³, las variables x e y y el grado 4 (suma del grado de x y del grado de y).
4x² En este caso, el coeficiente es 4, la parte literal x², la variable x y el grado 2.
Operaciones con polinomios
Suma y resta de polinomios
Para sumar o restar polinomios, agrupamos los términos semejantes. Veamos algunos ejemplos:
A(x)=2x³-4x²+7x-8
B(x)=-3x³+5x²+3x-9
A(x)+B(x)=2x³-4x²+7x-8-3x³+5x²+3x-9=-x³+x²+10x-17
Producto de polinomios
Para multiplicar polinomios, se multiplican cada monomio del primer polinomio por todos los términos del segundo polinomio y al final agrupamos los términos semejantes (suma y resta de polinomios)
Veamos algunos ejemplos:
(3x+2).(-2x²+4x-7)=-6x³+12x²-21x-4x²+8x-14=-6x³+8x²-13x-14
Cómo factorizar polinomios
- Factorizar un polinomio consiste en descomponerlo en producto de polinomios (factores) del menor grado posible.
Para factorizar polinomios seguiremos los siguientes pasos:
1.Sacar factor común:
Consiste en separar el elemento común en cada término del polinomio y poner el polinomio como producto de factores. Veamos un ejemplo:
2x³-8x²+6x=2x.(x²-4x+3)
En este caso, 2x es común en todos los términos del polinomio.
2. Utilizar las identidades notables:
Para eso revisa el apartado que tenemos de identidades notables. De todas formas veamos un ejemplo:
4x²+4x+1=(2x+1)²
3. Finalmente resuelve la ecuación siempre que sea posible y ponlo en producto de factores (cambiando la solución de signo) y gastando cuidado con el coeficiente principal.
Veamos un ejemplo:
x²+x-6 tiene por soluciones -3 y 2 por lo que se puede factorizar como (x+3).(x-2)
Polinomios ejercicios
- Factoriza según las raíces de los polinomios:
a) x³+3x²-4x-12
b) x²-4x-5
2. Dados los polinomios A(x)=x³+7x; B(x)=-3x²+7x-2. Calcula:
a) A(x)-x.B(x)
b) A(x).B(x)
c) (A(x)+ B(x)).2x-2.A(x)=
3. Sin realizar las siguientes operaciones, indique el grado y el término independiente en cada caso:
a) (x²-3x+3)³
b) x(7x³-5x²+6x-2)+7x-2
4. Factoriza los siguientes polinomios:
a) x³-4x
b) 2x³-18x
c) 4x²+4x+1
d) 3x³-27x
5. Calcula el valor numérico del polinomio P(x)=x³-5x²+x-3 en los valores x=1 y x=-2
6. Halla el valor de k para que el polinomio P(x)=x²-5x+k verifica que P(1)=-2
7. Verifica si los valores -1, 2, 3 y -2 son raíces del polinomio: P(x)=x³-2x²-5x+6
¿Para qué sirven los polinomios?
Uno de los usos más comunes de los polinomios es en la interpolación, es decir, el proceso de encontrar un polinomio que pase exactamente por un conjunto dado de puntos. Esto es útil en muchas aplicaciones, como la construcción de modelos matemáticos a partir de datos experimentales, la aproximación de funciones continuas mediante funciones polinómicas, y la resolución de ecuaciones diferenciales utilizando técnicas de serie de Taylor.
Otro uso importante de los polinomios es en la factorización, es decir, el proceso de escribir un polinomio como el producto de dos o más polinomios más simples. Esto es útil en muchas áreas de las matemáticas, como la resolución de ecuaciones algebraicas, la geometría algebraica y el cálculo algebraico. Si desarrollamos aplicaciones en distintas áreas podemos encontrarlas en:
Ingeniería: Los polinomios se utilizan en una variedad de campos de la ingeniería, como la mecánica, la electrónica y la aeronáutica. Por ejemplo, en la mecánica, los polinomios se utilizan para modelar el comportamiento de los sistemas físicos, mientras que en la electrónica, se utilizan para diseñar circuitos y dispositivos.
Física: Los polinomios también se utilizan en la física, especialmente en la mecánica clásica y la física teórica. Por ejemplo, en la mecánica clásica, se utilizan para modelar el movimiento de los cuerpos y la dinámica de los sistemas, mientras que en la física teórica, se utilizan para estudiar las propiedades de los campos y las partículas.
Economía: Los polinomios se utilizan en economía para modelar los patrones de crecimiento y fluctuaciones en los mercados. Por ejemplo, se utilizan para modelar los patrones de crecimiento en el PIB y el mercado de valores.
Control automático: Los polinomios se utilizan en el control automático para diseñar y controlar sistemas automatizados, como robots, sistemas de navegación y sistemas de control de procesos.
Ciencias naturales: Los polinomios se utilizan en ciencias naturales, especialmente en la química y la biología para modelar la dinámica de los sistemas y la estabilidad de los compuestos.
Agricultura: Los polinomios se utilizan en la agricultura para modelar y predecir el crecimiento de las plantas, la producción de cultivos y el clima.
En resumen, los polinomios son una herramienta muy valiosa en una variedad de campos y tienen un gran número de aplicaciones en la vida real. Es importante comprender y practicar con ejemplos para poder aplicarlos de manera efectiva en diferentes situaciones.
