Ejercicios de cálculo de áreas por integrales.

Para resolver estos ejercicios de cálculo de áreas por integrales es fundamental:

• Calcular los puntos de corte de la función o funciones con el eje X (si los tuviera)
• Si hay varias funciones encontrar los puntos de corte entre las funciones.
• Dividir la región en distintas áreas.
• Calcular las correspondientes integrales definidas.

Ejercicios de áreas para practicar:

1. Calcula el área comprendida entre las siguientes funciones: f(x)= 4-x²   y g(x)= 2x+1      (Solución 10,67 u²)
2. Calcula el área comprendida entre el eje X y la siguiente función:  f(x)=-x³+x²+2x    (Solución 3,08 u²)
3. Calcula el área que determina la curva y=x²+x-2   con el eje X entre las abcisas -1 y 4   (Solución  25,83 u²)
4. Calcula el área limitada por la curva: y=x³-2x²+x    y la recta tangente a ella en el origen de coordenadas.  (Solución   4/3 u²)
5. Sabiendo que el área de la región comprendida entre la curva y=x²   y la recta y=bx es igual a 9/2, calcula el valor de b   (Solución b=3)
6. Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones f(x)=x²-9 y g(x)= (Solución 52,26 u²)
7. Dadas y=-x²+1 y la recta y=a   con a<0, determina el valor de a de modo que el área de la curva y la recta sea de 8√2/3  u²  (Solución  a=-1).
8. Sea f la función definida por f(x)=(x-1)²a) Esboza el recinto acotado y limitado por la gráfica de f y la recta y=a      con a>0  .b) Calcula a  para que el área del recinto acotado y limitado por la gráfica de f y la recta y=a sea 4/3 unidades cuadradas.
9. Considera las funciones f y g: definidas por
   1. a) Esboza las gráficas de dichas funciones.
   2. b) Calcula la suma de las áreas de los recintos acotados y limitados por las gráficas de dichas funciones y las rectas  x = −1    y  x =1 .

Ejercicios de áreas contextualizados:

 10. Una parcela está rodeada por dos carreteras cuyo trazado viene dado por las siguientes funciones:

f(x)=–x²+9x-8; y g(x)=2x-2. Si se mide en decámetros:

a)  Representa la parcela.

b) ¿Qué superficie tiene la parcela?.

c) Si el 70% de la parcela se vende como suelo urbano a 500€ el metro cuadrado, el 20% se tiene que donar al Ayuntamiento y el resto se tiene que vender como suelo rústico a 45€ el metro cuadrado, ¿cuál es el valor de la parcela?.

Para los ejercicios de cálculo de áreas por integrales es fundamental una buena representación de las funciones y calcular correctamente los puntos de corte entre ellas.

11. El famoso youtuber Pepe Fogones ha decidido emprender una nueva aventura empresarial y se
ha unido con su amigo Cocinauta para lanzar al mercado una exclusiva variedad de té matcha
ecológico. Ambos han invertido parte de sus ahorros en una plantación de té y están analizando
los costes de recolección, procesamiento y envasado del té para su distribución. El grupo de
asesores contratado por Pepe Fogones y Cocinauta ha logrado modelar los costes marginales
mensuales, en euros, mediante la siguiente función:

siendo x la cantidad mensual, en kilos, de té matcha envasado.
Los asesores contratados por Pepe Fogones y su socio han hecho, además, un estudio de los
beneficios que obtiene con sus redes sociales, representados en euros mediante la siguiente
función de beneficios:

siendo t el tiempo transcurrido a partir del momento en que han hecho el estudio.
a) Calcule el coste de envasar x kilos de té matcha sabiendo que el coste de envasar
el primer kilo es de 121, 21 euros. Tenga en cuenta que la función de costes marginales es la
derivada de la función de costes.
b) Analice si, con el transcurso del tiempo, el beneficio que obtiene Pepe Fogones
con sus redes sociales crece o no, cuál es el máximo beneficio y en qué momento se alcanza.
Estudie qué pasaría con el beneficio a largo plazo.