La distribución binomial es una de las distribuciones de probabilidad más utilizadas en estadística. Se aplica en situaciones donde hay ensayos independientes con dos posibles resultados: éxito (p) o fracaso (1-p).
Definición de la Distribución Binomial
Un experimento sigue una distribución binomial si cumple con las siguientes condiciones:
Hay un número fijo de ensayos, denotado por .
Cada ensayo tiene solo dos posibles resultados: éxito o fracaso.
La probabilidad de éxito en cada ensayo es constante y se denota por , mientras que la probabilidad de fracaso es .
Los ensayos son independientes entre sí.
Si se cumplen estas condiciones, la variable aleatoria, que representa el número de éxitos en ensayos, sigue una distribución binomial:
X∼B(n,p)
Fórmula de la distribución binomial
Características de la Distribución Binomial
Si X ∼B(n,p), entonces:
- Media=E(X)=n.p (también se llama esperanza o valor esperado)
- Varianza=Var(X)=n.p.q
Distribución Binomial Ejemplos
- Un tirador acierta en la diana el 60% de las veces que tira con arco. En una competición debe realizar 8 lanzamientos. Calcula la probabilidad de acertar al menos en 6 dianas. (Solución: 0,3154).
- Si niños y niñas tienen igual probabilidad de nacer?, ¿cuál es la probabilidad de que, en una famila seleccionada al azar de 4 hijos, habrá al menos una niña?. (Solución 0,9375).
- La probabilidad de que a un cliente nuevo le guste una hamburguesa en determinada hamburguesería es de 0,8. Si llegan 5 clientes nuevos a la hamburguesería, ¿cuál es la probabilidad de que solo a 2 de ellos les guste la hamburguesa?. (Solución 0,0512).
- Una familia tiene 6 hijos. La distribución por sexos es igualmente probable. Hallar la probabilidad de que haya al menos 5 hijas.(Solución 0,109375).
- Un jugador de baloncesto tiene una probabilidad de 0.8 de encestar un tiro
libre. Si en un partido lanza 6 tiros libres, halle la probabilidad de que enceste: (i) Exactamente cuatro tiros libres.
(ii) Al menos cuatro tiros.
(iii) Ninguno de ellos.
(iv) Alguno de ellos. - Se ha desarrollado una variedad de soja con una tasa de germinación del 90%.
Se plantan diez de estas semillas en suelos de igual composición. Calcule la probabilidad de que:
(i) Germinen 9 semillas
(ii) Germinen entre 8 y 10 semillas.
(iii) Germinen como máximo 8 semillas. - Un prestigioso Instituto de Investigación envía invitaciones para una conferencia y se sabe que generalmente asisten un 60% de los invitados. Si se eligen al azar 15 invitados, calcule la probabilidad de que: (i) Asistan todos a la conferencia. (ii) Ninguno de ellos asista a la conferencia. (iii) A lo sumo 1 acuda a la conferencia. (iv) Al menos asista 1 invitado.
- Un jugador de baloncesto tiene una probabilidad de 0.8 de encestar un tiro libre. Si en un partido
lanza 6 tiros libres, halle la probabilidad de que enceste:
i) Exactamente cuatro tiros libres.
ii) Al menos cuatro tiros.
iii) Ninguno de ellos.
iv) Alguno de ellos. - Se sabe que la probabilidad de que un dardo impacte en una diana es 0,4. Si se lanzan 9 dardos, determina:
a) Qué tipo de distribución sigue la variable aleatoria que cuenta el número de dardos que dan en la
diana.
b) La media y la desviación típica de esta distribución.
c) La probabilidad de que al menos 5 dardos impacten en la diana. - La probabilidad de que un individuo elegido al azar tenga problemas dermatológicos es de 0,15. Dada una muestra de 50 personas,
a) ¿cuál es la probabilidad de que ninguna tenga problemas dermatológicos?
b) ¿cuál es la probabilidad de que al menos cuatro tengan problemas dermatológicos? - En un laboratorio de análisis clínicos, el 5 % de las muestras que llegan no cumplen las condiciones requeridas para obtener resultados concluyentes en el análisis. Si se eligen 5 muestras, calcula:
a) La probabilidad de que de todas las muestras se puedan obtener resultados concluyentes.
b) La probabilidad de que de al menos dos no se obtengan resultados concluyentes.
c) La media y la desviación típica de la distribución. - En un centro de fertilidad, cada intento de inseminación in vitro para cualquier pareja tiene un porcentaje de éxito del 30 %. Esta semana han acudido 10 parejas para realizar el tratamiento. Nos preguntamos por el número de ellas que consiguen tener hijos.
a) ¿De qué tipo de distribución se trata? Calcular su media y su desviación.
b) ¿Qué probabilidad hay de que ninguna pareja conciba? ¿y de que alguna conciba? - La variedad de naranjas Navel se suele dedicar a naranja de mesa por su tamaño y aspecto. Pero aquellas que no cumplen con los estándares de calidad exigidos, son utilizadas para hacer zumo. En una finca, una de cada tres naranjas de la variedad Navel recolectadas se destina a hacer zumo. Si se elige un cargamento de 90 naranjas de esa finca, calcula la probabilidad de que entre ellas haya por lo menos 30 que se destinen a hacer zumo.
- La probabilidad de que un pez de una determinada especie sobreviva más de 6 meses
es del 20 %. Se pide:
a) Si en un acuario tenemos 15 peces de esta especie nacidos este mes, halla la probabilidad de que al menos 2 de ellos sigan vivos dentro de 6 meses.
b) Si en un tanque de una piscifactoría hay 300 peces de esta especie nacidos este mismo mes, halla la probabilidad de que al cabo de 6 meses hayan sobrevivido al menos 50 de ellos. - Un modelo de avión tiene capacidad para 260 pasajeros. Sin embargo, la compañía aérea a la que pertenece ha decidido vender más billetes que asientos hay en el avión. La probabilidad de que un pasajero se presente en el aeropuerto el día del vuelo es del 95 %. Si ese día la compañía ha vendido 280 billetes, ¿cuál es la probabilidad de que ese día se presenten 270 pasajeros?.
- Una fábrica de baterías para móviles ha detectado que una de sus máquinas produce un 10 % de baterías defectuosas. Si se han seleccionado al azar y de forma independiente 6 baterías:
a) Calcula la probabilidad de que exactamente cuatro baterías sean defectuosas. ¿Cuál es la probabilidad de que como máximo la mitad sean defectuosas?.
b) ¿Qué es más probable que ninguna sea defectuosa o que lo sean las seis?. - Una empresa de marketing ha lanzado una campaña publicitaria para promocionar un nuevo servicio de energía solar para hogares. Según estudios previos, se estima que el 20% de las personas que ven el anuncio terminan contratando el servicio. Para analizar más en profundidad la efectividad de la campaña, seleccionan aleatoriamente a 20 personas que han visto el anuncio.
a) Calcule la probabilidad de que exactamente 10 personas contraten el servicio.
b) Determine la probabilidad de que al menos 2 personas contraten el servicio.
c) Determine el valor esperado del número de personas que contratarán el servicio de entre las
seleccionadas.
d) ¿Cuántas personas, de entre las que han visto el anuncio, se deberían seleccionar para que el
número esperado de personas que contraten el servicio sea mayor o igual a 13?. - Un tratamiento experimental para tratar una determinada intolerancia alimentaria mejora al 60% de los pacientes a los que se les suministra. Cinco pacientes deciden someterse a dicho tratamiento.
a) Indique la distribución que sigue la variable “número de pacientes de entre los 5 que mejoran con este tratamiento”. ¿Cuál es la probabilidad de que mejoren cuatro pacientes gracias al tratamiento?
b) Calcule la probabilidad de que al menos dos pacientes experimenten mejoría tras someterse al tratamiento.
c) ¿Cuántos pacientes se espera que mejoren al someterse a ese tratamiento?
d) ¿Cuántos pacientes deberían someterse al tratamiento para que el número esperado de pacientes que mejoren sea mayor o igual a 12?
