Matemáticas con chispita

Esperanza matemática

Esperanza matemática

Esperanza matemática

Definición de esperanza matemática

Un concepto muy importante en probabilidad y estadística es el de esperanza matemática o valor esperado de una variable aleatoria. 

En el caso de una variable discreta X que tiene como valores x1, x2, x3, …. xn, la esperanza matemática de X se define como:

E(X)=x1.P(X=x1)+ x2. P(X=x2)+…+xn.P(X=xn).

En el caso en el que todas las probabilidades sean iguales, tenemos que:

E(X)=(x1+x2+……xn)/n

En el caso de una variable aleatoria continua X, que tiene por función densidad f(x), la esperanza matemática se define como:

E(X)=∫xf(x)dx.

Esperanza matemática ejercicios resueltos

Ejemplo 1: Supóngase un juego con un dado en el que se lanza un dado. El jugador gana 20€ si sale un número par. Si obtiene el número 1 obtiene 10€, si obtiene 3 pierde 16€ y si obtiene 5, pierde 30€. Halla la suma esperada del dinero ganado.

Solución:

Vamos a definir como X a la variable aleatoria ganancia del jugador.

E(X)= 10(1/6)+20.(1/6)-16.(1/6)+20.(1/6)-30(1/6)+10.(1/6)=(10+20-14+20-30+20)=4.

Se deduce que el jugador puede esperar una ganancia de 4€. Por lo que un juego honrado es de esperarse pagar 4€.



Ejemplo 2: Se venden 5000 billetes de lotería a 1€ cada uno, para el sorteo de un premio de 4000. ¿Cuál es la ganancia esperada de una persona que compra 3 billetes?

Solución:

Vamos a definir X como la variable aleatoria ganancia del jugador.

Los posibles valores de X son -3, si entre sus números no se encuentra el número premiado y 3997 si alguno de sus billetes contiene el premio.

La esperanza del juego es:

E(X)=-3.(4997/5000)+3997.(3/5000)=-0,6

Por lo tanto si repetimos el juego muchas veces, el jugador perdería en promedio 0,60€ en cada juego.

¿Para qué sirve la esperanza matemática?

La esperanza matemática es una medida esencial en la toma de decisiones en una amplia variedad de campos, desde las finanzas hasta la ingeniería y la medicina. En finanzas, por ejemplo, la esperanza matemática se utiliza para calcular el retorno esperado de una inversión y, por lo tanto, es una herramienta clave en la gestión de riesgos y la toma de decisiones de inversión.

En la ingeniería, la esperanza matemática se utiliza para estimar la vida útil de los materiales y para determinar la probabilidad de falla de un sistema. En medicina, se utiliza para predecir la probabilidad de curación de una enfermedad o el éxito de un tratamiento.

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