Una función es una relación entre dos conjuntos en la que a cada elemento del primer conjunto (Dominio) se le asigna un único elemento del segundo conjunto.
Para el estudio de funciones tendremos que analizar una serie de apartados. Debido a que son muchos apartados y algunos de ellos largos de desarrollar deberéis en cada caso analizar que apartados son más relevantes a la hora de poder representar la función.
Veamos los puntos más importantes para el estudio de funciones
Dominio de una función
El dominio de una función es el conjunto de valores para los que la función está definida.
Para estudiar el dominio de una función en forma analítica deberemos analizar los valores que podemos darle a la variable independiente (generalmente x).
Por ejemplo en una función irracional hay que gastar cuidado en que dentro de la raíz no queden números negativos, o en una fracción algebraica que no de el denominador cero o en un logaritmo que dentro del logaritmo no de ni cero ni números negativos.
Imagen de una función
La imagen de una función o recorrido de una función es el conjunto de valores que toma la variable dependiente (normalmente y)
Para calcular la imagen de una función en la mayoría de las ocasiones será necesario hacer la representación de dicha función.
Puntos de corte con los ejes
Corte con el eje x
Para calcular los puntos de corte con el eje X (o eje de abcisas) debemos darle a la variable y el valor 0 y resolver la ecuación resultante.
Corte con el eje y
Para calcular los puntos de corte con el eje Y (o eje de ordenadas) debemos darle a la variable x el valor 0 y resolver la ecuación resultante.
Simetría de una función
Para estudiar la simetría de una función nos vamos a centrar en la simetría par y simetría impar
Simetría par
Diremos que una función es simétrica par si lo es con respecto al eje Y. Para ello debe verificar que f(x)=f(-x)
Visualmente sería:
Simetría impar
Diremos que una función es simétrica impar si es simétrica respecto al origen de coordenadas. Para ello debe verificar que f(-x)=-f(x)
Visualmente sería:
Periodicidad
Una función f es periódica de periodo T cuando f(x)=f(x+T).
Desde el punto de vista gráfico son funciones que se repiten con cierto periodo de amplitud T
Continuidad de una función
La idea intuitiva de función continua es aquella función que podemos representar de un solo trazo sin levantar el lápiz del papel.
Diremos que una función f es continua en x=a si verifica
Existe f(a) y el limite cuando tiende a “a” y además
Ejercicios de continuidad
Derivabilidad de una función
Para estudiar la derivabilidad de una función primero debemos estudia su continuidad.
Una función es derivable en un punto si y sólo si existen las derivadas laterales en el punto y coinciden.
Crecimiento y decrecimiento
Una función f es estrictamente creciente en x=a si f´(a)>0.
Una función f es estrictamente decreciente en x=a si f´(a)<0
Por lo tanto si queremos estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función deberemos igualar la primera derivada a cero y estudiar los signos de la derivada (método de los arcos). Este apartado también se puede llamar estudio de la monotonía.
Asíntotas
Asíntota vertical
La recta x=a es una asíntota vertical de la función f si existe alguno de los siguientes límites:
Asíntota Horizontal
La recta de ecuación y=k es una asíntota horizontal de la función f si existe alguno de los siguientes límites.
Asíntota oblícua
La recta y=mx+n (m no puede ser cero) es una asíntota oblícua de la función f si existe alguno de los siguientes límites:
Para su cálculo se utilizan las siguientes fórmulas:
Representación gráfica de la función
Para representar una función y comprobar si habéis hecho bien el estudio de una función podéis usar alguna aplicación como FooPlot.
Veamos algunos ejemplos representados:
