¿Qué son funciones matemáticas?
Las funciones matemáticas son relaciones entre dos conjuntos de elementos. Por lo general, una función matemática se representa gráficamente como un conjunto de puntos en un plano cartesiano, donde cada punto representa una pareja ordenada de valores (x, y).
Una función matemática se puede expresar también mediante una fórmula matemática, que es una expresión que describe la relación entre los valores x e y. Por ejemplo, la función matemática y = 2x + 1 describe una línea recta que pasa por el punto (0, 1) y tiene pendiente 2.
Hay muchos tipos diferentes de funciones matemáticas, como funciones lineales, cuadráticas, exponenciales, trigonométricas, logarítmicas, etc. Cada una de estas funciones tiene sus propias características y se utiliza en diferentes ámbitos de la matemática y de la ciencia.
Características de las funciones matemáticas
Vamos a comenzar recordando algunas de las características más importantes de las funciones:
- Se llama dominio de definición de una función f, y se designa Dom(f), al conjunto de valores de x para los que existe la función.
- Se llama imagen o recorrido de f, al conjunto de valores que toma la función (variable y).
Puntos de corte con los ejes: Para calcular los puntos de corte con los ejes se procede de la siguiente manera:
Punto de corte con el EjeY, le damos a x el valor 0 (siempre que esté en el dominio). Solamente puede tener un punto de corte con el ejeY (en caso contrario no sería función).
Puntos de corte con el EjeX, le damos a y el valor 0. En este caso puede tener hasta infinitos puntos de corte. (Ejemplo f(x)=senx)
Continuidad: Una función es continua cuando no presenta discontinuidades de ningún tipo. Es decir si podemos representarla de un único trazo.
Periodicidad: Una función es periódica si su comportamiento se repite cada vez que la variable independiente recorre un cierto intervalo. La longitud de dicho intervalo se llama periodo.
Representación de una función cuadrática (parábola)
Vamos a verlo con el siguiente ejemplo: y=x²-2x-3
Primer paso: Estudiamos el valor de a, si es positivo (cara feliz ∪), si es negativo (cara triste∩), en nuestro caso a=1, por lo tanto tiene esta curvatura ∪ .
Segundo paso: Estudiamos los puntos de corte con los ejes.
Para el Eje Y, le damos a la x el valor cero y nos da el punto de corte (0,-3). Para el eje X, le damos a la y=0, resolvemos la ecuación y nos salen los puntos de corte (3,0) y (-1,0).
Tercer paso: Calculamos el vértice de la parábola:
Lo primero calculamos la coordenada x del vértice con la fórmula x=-b/2a. En nuestro caso x=1 y después sustituimos en la función y nos da su correspondiente valor de y. Nuestro vértice es el V=(1,-4)
Cuarto paso: Hacemos una tabla de valores y así podemos representarla mejor. Por ejemplo (2,-3), (-2,5)
Quinto paso: Representarla: Con todos nuestros datos representamos la función:
Ejercicios de funciones 4º ESO
- Representa la siguientes funciones con valor absoluto:
a) f(x)=|-x²-2x+8|
b) f(x)=|cosx|
- Representa la siguiente función logarítmica: f(x)=lnx+2
- Halla la expresión analítica de la recta que pasa por los puntos (-1,2) y (2,-1)
- Calcula el dominio de las siguientes funciones:
a) 
b) 
c) f(x)=ln(x³+3x²-x-3)
5. Sabemos que a una altura de 2000 m el agua hierve a 98ºC y que cada 1000 m que ascendemos la temperatura de ebullición disminuye 1ºC. Representa mediante una función lineal la variación de la temperatura de ebullición en función de la altura y di a qué temperatura hierve el agua a cero metros de altura.
6. Si una población de bacterias comenzó con 100 y se duplica cada 3 horas.
a) Calcula la expresión analítica de la función (Pista: es una exponencial)
b) ¿Cuándo habrá 50000 ejemplares? (Pista: puedes usar logaritmos)
7. Calcula el valor de a y b para que la función f(x)=a/(x+b) +2 tenga una asíntota vertical en x=3 y corta al eje Y en -1. Representa la función.
8. Dada la gráfica:
a)¿Cuál es la expresión analítica de la función?
- f(x)=x²-5x+6
- f(x)=x²-x-2
- f(x)=x²-3x+2
- f(x)= x²-4
b)Estudia las siguientes características:
Dom(f)=
Im(f)=
Crece=
Decrece=
Máximos=
Mínimos=
Puntos de corte con los ejes=
9. Asocia las siguientes expresiones analíticas a las gráficas de las funciones representadas por distintos colores:
a) y=-x²+6x-2
b) y=-x²-3x-2
c) y=x²-5x+2
d) y=2x²+10x
10. Calcula la imagen de la función f(x)=1/(x²+1)
11. Se coloca 6000€ al 12% de interés compuesto. Encuentra una función que nos de el dinero obtenido en función del tiempo.
a) ¿Qué variable vas a considerar independiente y cuál dependiente?
b) ¿Cuánto dinero se tendrá al cabo de 1 año?. ¿Y al cabo de 2 años?
c) Construye una tabla con el dinero que se tendrá en los distintos años.
d) Representa gráficamente los puntos de dicha tabla.
e) ¿En cuánto tiempo se duplicará?
12. Representa la gráfica de la función que verifique las siguientes condiciones:
- Su dominio son todos los números reales.
- Es siempre continua.
- Corta al eje de abcisas en x=-2; x=0; x=2.
- Es positiva en (-∞,-2)U(2,+∞).
- Crece en (-1,0)U(1,+∞)
- En x=0 presenta un máximo relativo, siendo el valor máximo 0. Tiene dos mínimos relativos en x=-1 y en x=1 y en ambos casos su valor es -1.
- Es convexa en (-∞,-1/2)U(1/2,+∞). Es cóncava en (-1/2,1/2).
- Es par.
- Para valores de x cada vez más pequeños la función crece indefinidamente.
- Para valores de x cada vez más grandes la función crece indefinidamente.
