Conceptos previos Geometría Analítica

Módulo de un vector

Dirección de un vector

Sentido de un vector

Ecuaciones de la recta

a) Ecuación vectorial de la recta

(x,y)=(a,b) +t.(v1, v2), siendo (a,b) un punto de la recta y (v1,v2) un vector director de la misma

b) Ecuaciones paramétricas de la recta

c) Ecuación continua de la recta

d) Ecuación general o implícita de la recta:

AX+By+C=0, donde (A,B) es un vector normal de la recta

e) Ecuación explícita de la recta

y=mx+n, donde m es la pendiente y n la ordenada en el origen

f) Ecuación punto-pendiente de la recta

y-b=m.(x-a), donde (a,b) es un punto de la recta y m es la pendiente de la misma

Geometría Analítica ejercicios resueltos

1. Calcula un vector unitario con la misma dirección y diferente sentido que el vector =(-3,4)

         Solución: Hacemos que el vector sea unitario (tenga módulo 1). Para eso calculamos el módulo del vector:

. Si dividimos el vector por su módulo lo hacemos unitario (-3/5, 4/5).

Finalmente lo cambiamos de signo y ya tiene diferente sentido:

(3/5, -4/5)

2. Halla la ecuación paralela a la recta y=3x-5 que pase por el punto (1,3).

Solución: Al ser paralelas tienen la misma pendiente, por lo que la recta es de la forma y=3x+b. Ahora hacemos que el punto (1,3) pase por la recta y sustituimos

3=3.1+b; por lo que b=0 y la solución es y=3x

Ejercicios de Geometría Analítica 4 ESO para practicar

Os paso una ficha de actividades para repasar el tema de Geometría Analítica. Cualquier duda preguntad 😉

1. 1. Si A(3,3), B(7,6), C(7,-2) y D(11,1), comprobad que los vectores y  son iguales y calculad su módulo.
   2. Dados los siguientes vectores u(-5,8), v(-41,-10), w(3,6). Averigua el valor de x e y para que se cumpla:
   3. Calcula el valor de a para que el vector u(a,4) tenga por módulo 5u.
   4. Divide el segmento AB, siendo A(2,3) y B(-4,6) en 3 partes iguales.
   5. Calcula el simétrico de A(2,5) respecto de B(4,3).
   6. Halla el punto de intersección de la recta y=2x-3, con la recta x+3y=-2.
   7. Halla la ecuación vectorial , ecuaciones paramétricas, continua, explícita y punto pendiente de la recta que pasa por los puntos A(2,4) y B(5,1).
   8. Dada la ecuación explícita y=5x-2. Calcula su ecuación vectorial, ecuaciones paramétricas, ecuación continua y ecuación punto-pendiente.
   9. Halla la ecuación de la recta paralela a 5x+-6y+14=0 que pasa por (0,-3).
   10. Halla la ecuación de la recta perpendicular a y=-3x/5 +2 que pasa por (1,3).
   11. Calcula el valor de a y b para que las rectas r:ax-3y+2=0 y s:bx+9y-5=0 sean paralelas y, además, el punto P(1,2) pase por la recta r.
   12. Encuentra una recta paralela a y-5x-2=0 que esté a distancia 3u de dicha recta.
   13. Calcula m y n para que las rectas r: 3x+my-8=0 y s: nx-2y+3=0 se corten en el punto P(1,5).
   14. Sea un paralelogramo ABCD de vértices A = (7,4), B = (2,2), C = (3,5). Calcular el cuarto vértice.
   15. Calcula el valor de k para que la ecuación (k+3)x-y-2=0 pase por el punto A(2,0). En dicho caso, ¿cuál es la pendiente de la recta?.
   16. Halla las coordenadas del punto D, de modo que ABCD sea un paralelogramo, siendo A(1,-1), B(0,2) y C(6,5).
   17. Calcula el valor de a para que el punto P(a,7) esté a 10 unidades de distancia de Q(5,1).
   18. Razona si el triángulo de vértices A(1,1), B(4,5) y C(-2,5) es isósceles.
   19. Demuestra que el triángulo de vértices A(-1,5), B(3,-2) y C(4,6) es isósceles. ¿Es rectángulo?.
   20. Dadas las rectas y=(4-k)x+3 y (x,y)=(1,-1)+t(2,3), calcula el valor de k para que las rectas sean perpendiculares.
   21. Escribe la ecuación de la circunferencia que tiene por centro (2,4) y radio 2 unidades.
   22. Calcula el centro y el radio de las siguientes circunferencias: C1: x² +y² +4x-8y+16=0, C2: 4x² +4y² -12x+16y+21=0; C3: 9x²+9y²+6x-18y-71=0 y C4: 9x²+9y²+36x-12y-41=0
   23. Indica razonadamente si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: 

1.          a) x² + (y − 3)² + 9 = 0 es la ecuación de una circunferencia.

                  b) La recta de ecuación ax + c = 0  (con a≠0) es una recta paralela al eje Y.