Matemáticas con chispita

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Matemáticas con chispita

Límites de sucesiones

Límites de sucesiones

miguel

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Límites de sucesiones

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Tipos de Indeterminaciones

Infinito entre infinito

Para resolver una indeterminación “\frac{\infty }{\infty }” tenemos dos formas de proceder, o bien se dividen todos los sumandos por la potencia de mayor exponente y se realizan los límites correspondientes o algo más practico es fijarse en los grados de numerador y denominador:

  • Si el grado del numerador es mayor que el del denominador el límite es +∞ o -∞. Ejemplo \lim_{n\rightarrow\infty }\frac{n^{3}-3n}{-n+4}=-\infty
  • Si el grado del numerador es igual al grado del denominador, el límite es el cociente entre los coeficientes que acompañan a las potencias de mayor grado. Ejemplo \lim_{n\rightarrow\infty }\frac{2n^{2}-3n}{3n^{2}-2}=\frac{2}{3}
  • Si el grado del denominador es mayor que el grado del numerador, el límite es cero. Ejemplo\lim_{n\rightarrow\infty }\frac{n^{2}-3n}{n^{3}+1}=0

Infinito menos infinito

Infinito menos infinito con fracciones

En este caso lo transformaremos en una única fracción (haciendo común denominador). Veamos algún ejemplo:

\lim_{n\rightarrow\infty }\frac{n^{2}-1}{n+2}-\frac{n^{2}-1}{n}=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n.\left ( n^{2}-1 \right )-\left ( n+2 \right ).\left ( n^{2}-1 \right )}{\left ( n+2 \right ).n}=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{-2n^{2}+2}{n^{2}+2n}=-2

En este caso hemos transformado una indeterminación  ” \infty -\infty “por otra “\frac{\infty }{\infty }” y viendo que tanto numerador como denominador tienen el mismo grado el límite es el cociente entre los coeficientes de la n de mayor grado, que en este caso es 2, -2/1=-2

Infinito menos infinito con raíces

En alguna ocasión aparecen resta de raíces o al menos uno de los dos términos es raíz, en este caso se multiplica numerador y denominador por el conjugado del numerador. Veamos algún ejemplo:

\lim_{n\rightarrow \infty }\sqrt{4n^{2}+5n}-2n=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\left ( \sqrt{4n^{2}+5n}-2n \right ).\left ( \sqrt{4n^{2}+5n}+2n \right )}{\sqrt{4n^{2}+5n}+2n}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{5n}{\sqrt{4n^{2}+5n}+2n}=\frac{5}{4}

Hemos transformado la indeterminación “∞-∞” por otra  más sencilla”\frac{\infty }{\infty }”

Uno elevado a infinito

Esta indeterminación que también se le llama indeterminación del número e se puede resolver de dos formas, nosotros vamos a usar la que intentamos aproximar a la igualdad \lim_{n\rightarrow \infty }\left ( 1+\frac{1}{f(n)} \right )^{f(n)}=e donde f(n) tiene límite infinito cuando n tiende a infinito. Veamos un ejemplo:

\lim_{n\rightarrow \infty }\left ( \frac{3n+1}{3n-1} \right )^{2n}=\lim_{n\rightarrow \infty}\left ( 1+\frac{3n+1}{3n-1}-1 \right )^{2n}=\lim_{n\rightarrow \infty }\left ( 1+\frac{2}{3n-1} \right )^{2n}=\lim_{n\rightarrow \infty }\left ( 1+\frac{1}{\frac{3n-1}{2}}\right )^{\frac{3n-1}{2}.\frac{2}{3n-1}.2n}=e^{\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{4n}{3n-1}}=e^{\frac{4}{3}}=\sqrt[3]{e^{4}}=e\sqrt[3]{e}

Ejercicios de límites de sucesiones

1. \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\left ( n+1 \right )^{3}}{n^{2}+7}

2.\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{n}{n^{2}+3}

3. \lim_{n\rightarrow \infty }(\frac{2n+3}{5n-2})^{n}

4. \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{3n^{2}+1}{n}-\frac{n^{2}-2}{n+1}

5. \lim_{n\rightarrow \infty }(\frac{5n+3}{5n-1})^{2n}

6.\lim_{n\rightarrow \infty }\sqrt{16n^{2}+n}-4n

7. \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{e^{n}}{n^{3}+5n}

8. \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{e^{-n}}{n^{3}+5n}

9. \lim_{n\rightarrow \infty }(\frac{-3n^{2}-4}{-3n^{2}+n})^{n-1}

10. \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{n^{2}+2}{n}-2n

11.\lim_{n\rightarrow \infty }n^{3}-\ln (n^{2}+9)

12. \lim_{n\rightarrow \infty }(-1)^{n}.n

13.\lim_{n\rightarrow \infty }(1-\frac{3}{n+1})^{2n^{2}}

14. \lim_{n\rightarrow \infty }\sqrt{n^{2}+2}-\sqrt{n^{2}+2n}

15. \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{n^{2}+1}{n+1}-\frac{n^{2}+2}{n-1}

16. \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{n^{2}}{logn}

17. \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{4n^{3}+2n-2}{n+2}-\frac{4n^{2}+n}{n}

18. \lim_{n\rightarrow \infty }\sqrt{n^{2}+n-2}-\sqrt{n^{2}+n}

Soluciones de los ejercicios de límites de sucesiones

1. ∞    2.  0   3. 0     4.   ∞      5.   e\sqrt[5]{e^{3}}     6.   \frac{1}{8}     7.     \infty   8.      0   9.   \sqrt[3]{e}     10. -∞   11.   ∞     12. No tiene límite   13. 0       14.  -1     15. -2     16. \infty   17. \infty  18. 0

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