Las matrices son cajas rectangulares de elementos ordenados por filas y columnas. Se indican con letras mayúsculas.

Ejemplos de matrices

A=;  B=; C=.

La matriz A es una matriz columna y su dimensión es 2×1 (primero filas y después columnas), la matriz B tiene dimensión 2×3 y la matriz C es una matriz fila con dimensión 1×4.

De forma general, A= es una matriz de dimensión mxn

Tipos de matrices

• Matriz columna: de dimensión mx1. Ejemplo A=.
• Matriz fila: de dimensión 1xn. Ejemplo A=.
• Matriz cuadrada: si m=n. Ejemplo A=.
• Matriz traspuesta: Dada una matriz A, llamaremos matriz traspuesta de A y la indicaremos  a aquella matriz que se obtiene de cambiar las filas por columnas. Ejemplo: .
• Matriz simétrica: Diremos que una matriz A es simétrica si verifica que . Ejemplo: A=. Nota para que una matriz A sea simétrica tiene que ser cuadrada.
• Matriz antisimétrica: Diremos que una matriz A es antisimétrica si verifica que . Ejemplo: A=. Al igual que en caso de la matriz simétrica, A tiene que ser cuadrada.
• Matriz triangular superior: Diremos que una matriz A es tringular superior si todos los elementos por debajo de la diagonal principal son cero. Ejemplo: A=.
• Matriz triangular inferior: Diremos que una matriz A es triangular inferior si todos los elementos por encima de la diagonal principal son cero. Ejemplo: A=.
• Matriz diagonal: Diremos que una matriz A es diagonal si es cuadrada y todos los elementos que no estén en la diagonal principal deben ser cero (en la diagonal principal pueden ser cero o no). Ejemplo: A=.
• Matriz identidad o matriz unidad: Diremos que la matriz A es matriz unidad o identidad si es una matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal principal igual a 1. Ejemplo .
• Matriz idempotente: Diremos que A es idempotente si verifica A²=A. (tienen que ser cuadradas para poder multiplicarlas). Ejemplo: A=.
• Matriz involutiva: Diremos que una matriz A es involutiva si verifica A²=I. Ejemplo A=.
• Matriz nilpotente: Diremos que una matriz A es nilpotente de orden n si . Ejemplo A= es nilpotente de orden 3.
• Matriz inversa: Diremos que la matriz A tiene inversa y la notaremos  si verifica que , donde I es la matriz identidad. Para que A tenga inversa tiene que verificar que A sea cuadrada y que el det(A)≠0. Más adelante daremos un método para calcular la inversa de una matriz.

Operaciones con matrices

Suma de matrices

Para poder sumar 2 matrices, ambas tienen que tener la misma dimensión y el resultado es una matriz con la misma dimensión en la que cada elemento se obtiene sumando los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas matrices. Veamos un ejemplo:

Producto de un escalar (número) por una matriz

El producto de un escalar por una matriz (dimensión mxn) es una nueva matriz de dimensión mxn, en la que cada término de la nueva matriz se obtiene multiplicando el escalar por cada uno de los términos de la matriz. Veamos un ejemplo:

Producto de matrices

Para poder multiplicar dos matrices A y B, A.B, es necesario que el número de columnas de A coincida con el número de filas de B. El resultado es una matriz C que tiene el número de filas que tiene A y el número de columnas que tiene B.

Veamos algún ejemplo de multiplicación de matrices:

Nota: El producto de matrices no es conmutativo (A.B≠B.A), de hecho, puede existir A.B y no poderse hacer B.A. En el caso de que A.B=B.A, se dice que A y B conmutan.

Cálculo de la matriz inversa

Antes hablamos de la matriz inversa, es una matriz muy importante puesto que a partir de ella se pueden resolver distintas ecuaciones matriciales. El cálculo de la matriz inversa se puede realizar con diferentes métodos, Gauss, Gauss-Jordan o por determinantes. Nosotros nos centraremos en el cálculo de la matriz inversa por determinantes.

Fórmula de la matriz inversa

.

Ejercicios de matrices

1. Considera A = y X=

a) Determina los valores de λ para los que la matriz A + λI no tiene inversa (I es la matriz identidad).
b) Resuelve AX = −3X. Determina, si existe, alguna solución con x = 1.

2. Considera las matrices

   y

a) Halla la matriz X que verifica AX + B = 2A.
b) Calcula B² y  .

3. Sean A y B las matrices siguientes:

a) Calcule (A+B).(A-B)

b) Determine la matriz X, cuadrada de orden 2, en la ecuación matricial:

(A+2B).X=3I

4. Considera la matriz:

a) Calcula la matriz .

b) Calcula, si es posible, la matriz inversa de I + A + A², donde I denota la matriz identidad de orden 3.

5. Considera las matrices

Determina, si existe, la matriz X que verifica que A²X-BA+X=CD

6. Considera las matrices A= y B=.

a) Determina para qué valores de m existe la inversa de la matriz A.

b) Para todo m≠-1, resuelve, si es posible, la ecuación AX+X=B.

Aplicaciones de las matrices

En la actualidad, el concepto de matriz aparece en muchos campos relacionados con las Ciencias.

Hoy en día, son muy utilizadas en la informática, con matrices inmensas ordenadas con hojas de cálculo en las que se introducen datos y fórmulas.

Además, dentro del mundo de las matemáticas, utilizamos matrices para discutir y resolver sistemas de ecuaciones lineales, en el campo de la programación lineal, etc.

Veamos algunas de estas aplicaciones:

Matrices y Google

Google se ha convertido en el buscador más importante en internet. Uno de sus secretos y el  que intentan descifrar la mayoría de los “SEO” es el algoritmo que utiliza para ordenar los resultados de las búsquedas (PageRank) , que clasifica las páginas indexadas por Google de acuerdo a su importancia en la red. Este algoritmo utiliza grafos dirigidos entre las distintas páginas y la importancia de una página web.