Números complejos en forma binómica
Los números complejos son una extensión de los números reales, que incluyen una parte imaginaria, representada por la letra i. La parte imaginaria se define como la raíz cuadrada de -1, es decir, i² = -1. El conjunto de los números complejos se indica 
.
Un número complejo en forma binómica se representa de la forma z=a + bi, donde a y b son números reales, y i es la parte imaginaria.
a=Re (z), b=Im (z)
Por ejemplo, 3 + 4i es un número complejo.
Números complejos en forma polar
La forma polar de un número complejo se representa como un par ordenado (r, ∝), donde r es el módulo del número complejo y ∝ es el argumento del número complejo.
El módulo de un número complejo z=a+bi se define como la distancia desde el origen del plano complejo hasta el punto que representa al número complejo y se calcula:
El argumento de un número complejo es el ángulo que forma el vector que representa al número complejo con el eje real y se calcula:
tg∝=b/a
Por ejemplo, el número complejo z= 3 + 4i en forma polar sería (5, 53.13)
Números complejos en forma trigonométrica
En la forma trigonométrica, al igual que en la forma polar, se utiliza el módulo y el argumento.
Un número en forma trigonométrica se expresa de la forma: z=r(cosα+isenα)
Números complejos ejercicios
1. Calcula el cociente 
y determina el valor o valores de a para que el módulo del mismo sea 
2. Comprueba si 2i es raiz del polinomio P(x)=2x³+x²+8x+4.
3. Dados los números complejos z = 2 + i y w = 3 – 2i, realizar la multiplicación y la división de estos números.
4. Resuelve la siguiente ecuación:
3z³+2z²+1=0
5. Representa en el plano de Gauss los siguientes números complejos y pásalos a forma polar y trigonométrica:
a) z1=-3+2i
b) z2=-4-6i
6. Calcula el valor de x para que (2+xi)² sea imaginario puro.
7. Escribe el módulo y el argumento del número complejo 3-4i
8. Dados los números complejos z=6-bi y w= 3+i, calcula b para que el cociente z/w sea un número real.
9. Calcula a y b para que se verifique la siguiente igualdad:(a+bi)²=3+4i
10. Opera la expresión: (2-4i)².(3-i)
11. Encuentra una ecuación de segundo grado que tenga por soluciones: 1+i y 1-i.
12. Dado el número complejo: z= 
, calcula el valor de a para que:
a) z sea un número real.
b) z sea un número imaginario puro
13. Si una raíz sexta de z es 1+i, calcula y representa las otras raíces sextas de z.
Demostraciones con números complejos
Para ampliar, os propongo algunas demostraciones en las que se incluyen números complejos:
a) El producto de un número complejo por su conjugado , es un número real.
b) Para multiplicar dos números complejos en forma polar, se multiplican los módulos y se suman los argumentos.
¿Para qué sirven los números complejos?
Los números complejos tienen un gran número de aplicaciones en diferentes áreas de la matemática y la física. En la teoría de números, se utilizan para resolver ecuaciones algebraicas y para estudiar la estructura de los números. En la teoría de funciones analíticas, se utilizan para estudiar las funciones que tienen una representación compleja. En la mecánica cuántica, se utilizan para describir los estados y las evoluciones de los sistemas cuánticos. En la teoría de circuitos eléctricos y electrónicos, se utilizan para describir los componentes y los sistemas. En la teoría de sistemas dinámicos, se utilizan para describir los sistemas que tienen un comportamiento complejo.
