Optimización de funciones 2º Bachillerato
Para resolver problemas de optimización de funciones Matemáticas II, se siguen los siguientes pasos:
1º Se busca la función a optimizar (calcular el máximo o mínimo)
2º Si dicha función tiene más de una variable se buscan otra u otras ecuaciones que relaciones dichas variables, se despejan las variables de la ecuación y se sustituyen para que en la función inicial solo tenga una variable.
3º Se calculan los máximos o mínimos (primera derivada igual a cero)
4º Finalmente se demuestra si es máximo o mínimo.
Ejercicio de optimización de funciones resuelto
Se desea fabricar una caja sin tapa con base cuadrada y con un área de 300 dm². ¿Qué dimensiones debe tener la caja para que el volumen sea máximo?
1º Buscamos la función a optimizar (en este caso maximizar)
V(x, y)=x².y
2º Buscamos una ecuación que relacione las 2 variables (x,y):
que en este caso es el área x²+4xy=300
despejamos una variable, en este caso es más fácil despejar y
y=75/x-x/4
sustituimos y en x y obtenemos la función:
V(x)=75x-x³/4
3º Buscamos los máximos derivando e igualando a cero:
V´(x)=0
75-3x²/4=0
x=±10
x=10 dm (no tiene sentido el resultado negativo)
y=5dm
4º Para terminar demostramos que es máximo, con el estudio de la primera derivada (“los arquitos”) o bien viendo que la segunda derivada en 10 es negativa.
Ejercicios para practicar de optimización de funciones
- Dada la parábola y=3x², encuentra un punto en el que la recta tangente a la curva en dicho punto sea paralela a la cuerda que une los puntos (0,0) y (4,48).
Solución: (2,12)
2. De todas las rectas que pasan por el punto (1,2) encuentra la que determina con los ejes de coordenadas, y en el primer cuadrante, un triángulo de área mínima.
Solución: la recta es y=-2x+4
3. Un jardinero dispone de 160m de alambre que va a utilizar para cercar una zona rectangular y dividirla en tres partes. Las alambradas de las divisiones deben quedar paralelas a uno de los lados del rectángulo. ¿Qué dimensiones debe tener la zona cercada para que su área sea la mayor posible?.
Solución: Base=40m y altura=20m
4. Una hoja de papel debe contener 18 cm² de texto impreso. Los márgenes superior e inferior han de tener 2 cm. cada uno, y los laterales 1 cm. Halla las dimensiones de la hoja para que el gasto de papel sea mínimo.
Solución: Base=10cm y altura=5cm
5. Entre todos los rectángulos de perímetro 12 m. ¿cuál es el que tiene la diagonal menor?.
Solución: Un cuadrado de lado 3m.
