Matemáticas con chispita

Optimización de funciones

Optimización de funciones

Optimización de funciones

Optimización de funciones 2º Bachillerato

Para resolver problemas de optimización de funciones Matemáticas II, se siguen los siguientes pasos:

1º Se busca la función a optimizar (calcular el máximo o mínimo)

2º Si dicha función tiene más de una variable se buscan otra u otras ecuaciones que relaciones dichas variables, se despejan las variables de la ecuación y se sustituyen para que en la función inicial solo tenga una variable.

3º Se calculan los máximos o mínimos (primera derivada igual a cero)

4º Finalmente se demuestra si es máximo o mínimo.

Ejercicio de optimización de funciones resuelto

Se desea fabricar una caja sin tapa con base cuadrada  y con un área de 300 dm². ¿Qué dimensiones debe tener la caja para que el volumen sea máximo?

1º Buscamos la función a optimizar (en este caso maximizar)

V(x, y)=x².y

2º Buscamos una ecuación que relacione las 2 variables (x,y):

que en este caso es el área   x²+4xy=300

despejamos una variable, en este caso es más fácil despejar y

y=75/x-x/4

sustituimos y en x y obtenemos la función:

V(x)=75x-x³/4

3º Buscamos los máximos derivando e igualando a cero:

V´(x)=0

75-3x²/4=0

x=±10

x=10 dm (no tiene sentido el resultado negativo)

y=5dm

4º Para terminar demostramos que es máximo, con el estudio de la primera derivada (“los arquitos”) o bien viendo que la segunda derivada en 10 es negativa.

Ejercicios para practicar de optimización de funciones

1.Dada la parábola y=3x², encuentra un punto en el que la recta tangente a la curva en dicho punto sea paralela a la cuerda que une los puntos (0,0) y (4,48).

Solución: (2,12)

2. De todas las rectas que pasan por el punto (1,2) encuentra la que determina con los ejes de coordenadas, y en el primer cuadrante, un triángulo de área mínima.

Solución: la recta es y=-2x+4

3.  Un jardinero dispone de 160m de alambre que va a utilizar para cercar una zona rectangular y dividirla en tres partes. Las alambradas de las divisiones deben quedar paralelas a uno de los lados del rectángulo. ¿Qué dimensiones debe tener la zona cercada para que su área sea la mayor posible?.

Solución: Base=40m y altura=20m

4. Una hoja de papel debe contener 18 cm² de texto impreso. Los márgenes superior e inferior han de tener 2 cm. cada uno, y los laterales 1 cm. Halla las dimensiones de la hoja para que el gasto de papel sea mínimo.

Solución: Base=10cm y altura=5cm

5. Entre todos los rectángulos de perímetro 12 m. ¿cuál es el que tiene la diagonal menor?.

Solución: Un cuadrado de lado 3m.

6. Una familia desea acotas una zona rectangular en el jardín de su casa para dedicarla
al cultivo ecológico. Para ello dispone de 96 metros de valla, pero necesita una abertura de 4
metros en uno de los laterales para instalar una puerta. Determina las dimensiones de la zona
rectangular de área máxima que puede acotarse de esta manera y el valor del área.

Solución: Un cuadrado de lado 25m. El área sería de 625m².

7. Se divide el segmento de longitud L=20 cm en dos trozos. Con uno de los trozos se forma un
cuadrado y con el otro un rectángulo en el que la base es el doble de la altura. Calcula la
longitud de cada uno de los trozos para que la suma de las áreas del cuadrado y del rectángulo
sea mínima.

Solución: Un cuadrado tiene de lado 40/17 cm. El rectángulo tiene de base 60/17 cm y de altura 30/17 cm.

8. Los barriles que se utilizan para almacenar petróleo tienen forma cilíndrica y una capacidad de 160L. Halla las dimensiones del cilindro para que la chapa empleada en su construcción sea mínima.

Solución:

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A otra cosa mariposa ...

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