Progresiones y series numéricas

Progresiones aritméticas

Una progresión aritmética es una sucesión en la que cada término se obtiene sumando al anterior una cantidad fija d, llamada diferencia de la progresión aritmética.

Para el término n-ésimo tenemos dos fórmulas, la primera la usaremos cuando conozcamos el primer término y la segunda es una generalización si conocemos cualquier término.

Para la suma de los n primeros términos de una  progresión aritmética usamos la fórmula:

Progresiones geométricas

Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad fija r, llamada razón de la progresión geométrica.

Al igual que con las progresiones aritméticas, para conocer el término general de una progresión geométrica tenemos dos fórmulas:

Si conocemos el primer término de la progresión geométrica usamos:

Si conocemos cualquier término usamos la fórmula:

Para calcular la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica hay varias fórmulas, nosotros usaremos:

Y la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica es:

Veamos algunos ejemplos de series numérica.

Continúa las siguientes series numéricas:

• 3, 4, 7, 11, 18,__, ___
• 9, 16, 25, 36, __,___
• 2, 7, 4, 6, 6, 5, 8,___, __
• 1, 2, 3, 6, 11, 20,____,___
• o, t, t, f, f, s, s, e, n, t,___,___
• 1/2, 3/4, 9/8, 27/16,___,____
• 27/2, 9/2, 3/2, 1/2,___,___
• 2, 10, 12, 16, 17, 18, 19,___,___
• -3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, ___,___
• 2, 9, 28, 65,____,____
• 1, 3/2, 2, 5/2,___,____
• 3, 8, 15, 24, 35, 48,___,___
• 2, 3, 4, 2, 6, 1, ___, ___

Ejercicios de Progresiones Aritméticas y Progresiones Geométricas

1. En la serie 12, 9, 6, 3, …. Calcula .
2. En una progresión aritmética =25 y d=4. Averigua la suma de los 25 primeros términos de dicha progresión.
3. Calcula la suma de los 8 primeros términos de la serie 32, 16, 8, 4, 2,…
4. Calcula en cada caso:

a)

b) ; y

5. Calcula la suma de los números impares menores de 1000.

6. Un deportista entrena dos semanas según el siguiente plan, el primer día entrena 10 minutos  e incrementa la duración de la carrera 3 minutos cada día. ¿Cuańto corrió el último día?. ¿Y durante las 2 semanas?.

7. Un tipo de bacteria se reproduce por bipartición cada 20 minutos. ¿Cuántas bacterias habrá a las 4 horas?.

8. Un centurión le pidió al César la siguiente recompensa por su valentía. El César mostrándole grandes montones de monedas le dijo: “Puedes tomar un denario, mañana 2, al siguiente día 4 y al otro 8. Así sucesivamente, cada día duplicarás lo del día anterior. Pero lo de cada día lo llevarás tu solo y de una sola vez. Te permito usar un carro”. Suponiendo que un denario pesa 20g y que lo máximo que puede llevar en un carro es una tonelada.

a) ¿Cuántos días tuvo la recompensa?

b) ¿Cuál fue el número de denarios de la última carretada?.

c) ¿Cuántos denarios se llevó en total?.