Antes de dar las propiedades de los logaritmos vamos a comenzar por su definición.

Definición de logaritmo

El logaritmo de define como:

  siempre que b>0 y b≠1 . Esta definición es lo que yo llamo el “caminillo”.

Propiedades de los logaritmos

Propiedad 1: , evidente puesto que 

Propiedad 2: , puesto que 

Propiedad 3: 

Propiedad 4: 

Propiedad 5:  (Esta es la propiedad que le llamo, lo bajo del burro).

Propiedad 6: (cambio de base). Para cambiar de base un logaritmo se utiliza esta fórmula:

Notas

• No existen los logaritmos de números negativos.
• Se definen los logaritmos con bases positivas y distintas al número uno.
• Se define el logaritmo neperiano como el logaritmo en base e y se notarán con ln. Recordamos que el número e es un número irracional (e≅2,71828…)
• Los logaritmos en base 10, que se llaman logaritmos decimales, se notarán como log.

Logaritmos y sus aplicaciones

El logaritmo es uno de los conceptos matemáticos más difíciles de comprender para los alumnos de secundaria, sin embargo tiene multitud de aplicaciones y es por ello un concepto muy importante que el alumnado debe comprender y saber aplicar. Veamos alguna de sus aplicaciones:

Logaritmos y terremotos. Escala Richter

Los logaritmos se usan en los movimientos sísmicos. La escala Ritchter, que utiliza logaritmos, se utiliza para comparar y evaluar la intensidad de un terremoto.  Su fórmula es:

logE=1,5M-1,74

Esta fórmula relaciona la magnitud del sismo (M), con la energía liberada (E).

Ejercicios para aplicar con logaritmos

1. Calcula usando las propiedades de logaritmos:

a) 

b) =

c) 

2. Sabiendo que log2≈0,3; calcula de forma aproximada y sin usar la calculadora los siguientes logaritmos:

a) log8=

b) log4000=

c) =

d) log5=

3. Calcula la base de los siguientes logaritmos:

a) 

b) 

c) 

4. Sabiendo que log2=0,3; log3=0,47 y log7=0,84, calcula los logaritmos de los primeros 10 números naturales. ¿Sabrías calcular log3,5?. ¿Y el log1,5?.

5. Si sabemos que loga=0,7, calcula:

6. Calcula:

7. María invierte 5000€ a interés compuesto del 3%. Si invierte 5796,37, ¿cuántos años tuvo el dinero invertido? Nota: Puedes utilizar la calculadora y las propiedades de los logaritmos.

Soluciones:

1a) 5; 1b) ½; 1c) -2.

2a) 0,9; 2b) 3,6; 2c) -1,85; 2d) 0,7.

3a) 100; 3b) 16; 3c) 4.

4) log1=0; log2=0,3; log3=0,47; log4=0,6; log5=0,7; log6=0,77; log7=0,84; log8=0,9; log9=0,94; log10=1; log 3,5=0,54; log1,5=0,17.

5)-3,25.

6) 1/4

7) 5 años tuvo el dinero invertido.