Matemáticas con chispita

4ºESO Académicas, Matemáticas I

Racionalizar

¿Qué significa racionalizar?

En Matemáticas racionalizar consiste en quitar raíces del denominador. Al racionalizar se facilita el cálculo de sumas o restas de fracciones. Además ayuda a resolver el cálculo de algunos límite con radicales.

Racionalizar los radicales

Al racionalizar los radicales eliminamos los radicales del denominador de una fracción, dándonos una fracción más fácil de operar y trabajar con ella.

Repasa todos los tipos de racionalización que serán de mucha utilidad en los cursos de 4º ESO y 1º Bachillerato

¿Cuáles son los tipos de racionalización?. Vamos a estudiar los tres casos de racionalización más comunes:

Tipo 1 de racionalización

En el denominador solo hay un término que tiene una raíz cuadrada: En este caso multiplicamos numerador y denominador por dicha raíz cuadrada. Veamos un ejemplo:

$\frac{7}{\sqrt{3}}=\frac{7.\sqrt{3}}{\sqrt{3}.\sqrt{3}}=\frac{7\sqrt{3}}{3}$

Tipo 2 de racionalización

En el denominador solo hay un término que tiene una raíz de índice n: En este caso multiplicamos numerador y denominador por otra raíz del mismo índice n, que complete la potencia de orden n. Veamos un ejemplo:

$\frac{4}{\sqrt[4]{3}}=\frac{4.\sqrt[4]{3^{3}}}{\sqrt[4]{3}.\sqrt[4]{3^{3}}}=\frac{4\sqrt[4]{27}}{3}$

Tipo 3 de racionalización

En el denominador hay dos términos (binomio), sumados o restados, en uno de ellos o en los dos, hay una raíz cuadrada. En dicho caso se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador. Veamos un ejemplo:

$\frac{5}{2\sqrt{3}+5}=\frac{5.(2\sqrt{3}-5)}{(2\sqrt{3}+5).(2\sqrt{3}-5)}=\frac{10\sqrt{3}-25}{(2\sqrt{3})^{2}-5^{2}}=\frac{10\sqrt{3}-25}{12-25}=\frac{10\sqrt{3}-25}{-13}$

Nota: Para racionalizar, en especial en el caso 3 se utilizan las identidades notables, en especial la tercera identidad notable, aunque en algunas ocasiones podemos encontrar otras identidades notables en el numerador. Veamos un ejemplo:

$\frac{7\sqrt{3}-2}{7\sqrt{3}+2}=\frac{(7\sqrt{3}-2).(7\sqrt{3}-2)}{(7\sqrt{3}+2).(7\sqrt{3}-2)}=\frac{(7\sqrt{3})^{2}-2.7\sqrt{3}.2+2^{2}}{(7\sqrt{3})^{2}-2^{2}}=\frac{147-28\sqrt{3}+4}{147-4}=\frac{151-28\sqrt{3}}{143}$

Ejercicios para racionalizar

Racionaliza las siguientes fracciones:

a) $\frac{7}{\sqrt{7}}=$

b) $\frac{5+\sqrt{3}}{\sqrt{6}}$ =

c) $\frac{5}{\sqrt[3]{a^{2}.b}}=$

d) $\frac{3}{\sqrt[7]{96}}=$

e) $\frac{7\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}=$

d) $\frac{3\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3\sqrt{3}-\sqrt{2}}=$

2. Ordena de menor a mayor sin usar la calculadora. Nota: debes racionalizar previamente.

$\frac{2}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}+1}, \frac{3}{\sqrt{2}-1}$

Soluciones de los ejercicios de racionalización:

1a) $\sqrt{7}$ ; 1b) $\frac{5\sqrt{6}+3\sqrt{2}}{6}$ ; 1c) $\frac{5\sqrt[3]{a.b^{2}}}{a.b}$ ; 1d) $\frac{\sqrt[7]{2^{2}.3^{6}}}{2}$ ; 1e) 14-7 $\sqrt{2}$ ; 1f) $\frac{29-6\sqrt{6}}{25}$