El teorema de Bolzano sirve para acotar las soluciones de una ecuación complicada o bien para acotar los puntos de corte con el eje Y de una función continua y derivable en un intervalo, aunque después veremos que tiene más aplicaciones. Vamos a empezar enunciando dicho teorema:
Teorema de Bolzano
Sea f una función continua en el intervalo [a,b], derivable en (a,b) y tal que signof(a)≠signof(b), entonces existe un valor c€(a,b) tal que f(c)=0
Ejercicios del teorema de Bolzano
- Sirve para encontrar ver si una ecuación “complicada” tiene soluciones y te acota la solución. Ejemplo:
- Demuestra que la ecuación x+1=senx tiene al menos alguna solución real.
Solución: Para eso vamos a utilizar el teorema de Bolzano y vamos a considerar la función f(x)=x+1-senx
f es una función continua en [-π,0], derivable en (-π,0), además f(-π) =-π+1<0 y f(0)=1>0, por el teorema de Bolzano existe un c€(-π,0) tal que f(c)=0, de donde c+1-senc=0. que sería la solución de la ecuación inicial.
- Otra aplicación es demostrar la existencia y acotar los puntos de corte entre dos funciones. Ejemplo:
2. Encuentra si las funciones f(x)=-√x y la función g(x)=x³+lnx tienen algún punto de corte.
Solución: La forma de proceder es similar al ejercicio anterior, para ello construimos una función h(x)=x³+lnx +√x
h es una función continua en [0,1; 1], derivable en (0,1; 1), además h(0,1)≈-2<0 y h(1)=2>0, por lo tanto por el teorema de Bolzano existe un valor c€(0,1;1) tal que h(c)=0, por lo que ese punto c verifica c³+lnc+√c=0 y es el punto de corte que nos piden.
3. Demostrar que la ecuación cotgx=x tiene alguna solución en el intervalo [π/4, π/2].
Solución: Vamos a utilizar la función f(x)=cotgx-x. Si demostramos que existe una solución en dicho intervalo, quedará demostrado el enunciado.
La función f es continua en [π/4,π/2] (no es continua en π, pero no está en dicho intervalo). Por otra parte, f(π/4)>0 y f(π/2)<0. Por lo tanto, por el teorema de Bolzano, existe un c€(π/4,π/2), tal que f(c)=0, por lo que cotgc=c
4. Demuestra que la ecuación 4x³-4x+1=0 tiene al menos una solución real.
Solución: Construimos la función continua en todo los números reales, f(x)= 4x³-4x+1. Dicha función es continua en [-2,0], derivable en (-2,0), verifica que f(0)=1>0, además f(-2)=-23<0; por lo tanto existe un c€(-2,0) tal que f(c)=0, por lo que c es solución de la ecuación.
5. Consideramos la ecuación x³+ax²-2x-1=0. Utilizando el teorema de Bolzano, probar que si a>2, la ecuación admite una raíz (solución) menor que 1.
Solución: La función f(x)=x³+ax²-2x-1 es continua en el intervalo [0,1], f(0)=-1<0 y f(1)=a-2 >0, puesto que el enunciado dice que a>2, por lo tanto existe un c€(0,1), tal que f(c)=c³+ac²-2c-1=0, por lo tanto c es la raíz buscada (c<1).
