Enunciado del Teorema de Rolle:
Teorema de Rolle: Si una función f es continua en [a,b], derivable en (a,b) y si f(a)=f(b), entonces existe algún punto c€(a,b) tal que f´(c)=0.
Ejercicios del Teorema de Rolle
Veamos algunos ejercicios:
- Verificar el Teorema de Rolle de la función f(x)=x³-9x²+23x-15 en el intervalo [1,3].
Solución: La función f es continua en [1,3], derivable en (1,3). Además f(1)=0 y f(3)=0, por lo tanto existe un c€(1,3) tal que f´(c)=0.
Si tuvieramos que encontrar ese valor c (o valores) sólo tendríamos que resolver la ecuación 3c²-18c+23=0 y quedarnos con el valor comprendido entre 1 y 3.
2. Verifica que la función f(x)=x³-4x+3 cumple las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [0,2]. ¿En qué punto cumple la tesis?
Solución: La función es continua en [0,2] y derivable en (0,2), al ser función polinómica (de hecho lo es en el conjunto de los números reales). Además f(0)=f(2)=3. Por lo que verifica las hipótesis del teorema y existe un punto c€(0,2) tal que f´(c)=0.
Calculemos dicho punto: f´(x)=3x²-4, por lo que 3x²-4=0, de donde x=, nos quedamos con la solución comprendida entre 0 y 2, por lo que c=
€(0,2) y f´(c)=0.
3. Dada la función f(x)=(x-1).(x-2).(x+1).x, probar que la ecuación f´(x)=0 tiene tres raíces reales.
Solución: la función f, es continua y derivable en el conjunto de los números reales debido a que es polinómica, además f(-1)=f(0)=0, por lo que existe un a€(-1,0) tal que f´(a)=0, de la misma forma f(0)=f(1)=0, por lo tanto existe un b€(0,1) tal que f´(b)=0 y por último f(1)=f(2)=0 y existe un c€(1,2) tal que f´(c)=0. Por lo tanto, a,b y c son las raíces que buscábamos.
4.Averigua si la función f(x)=|2x²-1| verifica las condiciones del Teorema de Rolle en el intervalo [0,1].
Solución: La función es continua en el intervalo [0,1], puesto que es el valor absoluto de una función polinómica.
f(x)=|2x²-1|=
f(0)=f(1)=1, sin embargo no es derivable en (0,1), puesto que presenta un punto anguloso en x=, por lo que no verifica las condiciones del teorema.
Aplicaciones del Teorema de Rolle
El teorema de Rolle tiene varias aplicaciones en diferentes campos de las matemáticas y las ciencias. Algunas de las aplicaciones más comunes incluyen:
- Optimización: el teorema de Rolle se utiliza para encontrar puntos críticos de una función, lo cual es crucial en el análisis de extremos y la optimización. Los puntos críticos son aquellos donde la derivada de la función es igual a cero, y estos puntos pueden ser máximos, mínimos o puntos de inflexión.
- Ecuaciones diferenciales: el teorema del valor medio, que es una generalización del teorema de Rolle, se utiliza para resolver ecuaciones diferenciales.
- Física matemática: el teorema del valor medio se utiliza en la física matemática para calcular el valor medio de una función en un intervalo, lo cual es importante en el estudio de problemas relacionados con el movimiento, la energía y la conservación de la masa y la cantidad de movimiento.
- Ciencias económicas: el teorema de Rolle se utiliza en la economía para encontrar los puntos de equilibrio en un sistema de mercado.
- Geometría analítica: el teorema de Rolle puede ser utilizado en la geometría analítica para calcular las abscisas de los puntos de intersección entre dos funciones en un intervalo.
- Ciencias de la computación: El teorema de Rolle se utiliza en la ciencia de la computación para encontrar los puntos de intersección de curvas y funciones, especialmente en problemas de graficación y programación.
En resumen, el teorema de Rolle es un resultado matemático con aplicaciones en diferentes campos y disciplinas, y es una herramienta valiosa en el análisis de funciones, la optimización, y la resolución de ecuaciones diferenciales y problemas relacionados con la física matemática y ciencias económicas.
